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臺大管理論叢
第
26
卷第
2
期
147
依據
Merton (1973)
，
即為持有房屋到時間
t
為止的房屋租金現值。假設
借款人可能死亡的時間為各年度年底，且房屋可以立刻變現
9
，若借款人在契約開始後
的第
t
年度死亡，則借款人可以獲得的租金收益現值為
；借款人可以獲
得的租金收益現值可寫成：
(12)
其中
t
–1
p
x
是
x
歲借款人存活
t–
1
年的機率，
q
x+t
–1
是借款人存活到
x
+
t–
1
歲時在未來一
年死亡的機率，亦即，
t
–1
p
x
．
q
x+t
–1
是
x
歲借款人在第
t
年度死亡的機率；
ω
則為借款人
可以存活的最高年齡。由公式
(12)
我們可以發現，租金收益現值只與借款人的死亡率
（契約終止率）、房屋期初價值以及租金率三個變數有關。
（二）房屋剩餘價值
若借款人在契約的第
t
年度死亡，則契約到期時借款人可以獲得的房屋剩餘價值為
[
H
(
t
) –
BAL
(
t
)]
+
。因此，借款人相當於購買了一個以房屋價值
H
(
t
)
為資產標的，以貸款
餘額
BAL
(
t
)
為履約價格的買權。令
x
為借款者在契約開辦時的年齡，在死亡率與房屋
價格動態獨立的假設下，我們可以將契約終止時房屋剩餘價值之現值
(
V
B
(0))
寫成下式：
(13)
其中，
且
for
j
= 0,1,2,....
；而
Φ
是標準常態分配之累積機率
分配函數（推導請參考附錄
I
）。
9
本文假設契約在各年度年底終止，且終止時可以立即處理資產，實際狀況可能並非如此順利；
Li
et al. (2010)
則假設契約在各年度年中終止，並考慮抵押品處置時間。然而，當考慮抵押品處置時
間為半年時，本文假設與
Li et al. (2010)
則為相同的模型；亦即，本研究模型亦可視同「假設借款
人可能死亡時間在各年度年中，且抵押品處置時間為半年」之模型。