180 /342
長期照顧保險商品設計與風險效果分析
180
2001; Pitacco, 1995; Pritchard, 2006)
。本研究延續過去文獻，亦使用連續馬可夫鍊作為
健康狀態轉換模型。
馬可夫鍊是一個隨機過程，馬可夫鍊一般分為連續時間與離散時間兩種型態
(Ross, 2009)
。定義
M
x
(
t
)
代表
x
歲的人在時間
t
時的健康狀態，健康狀態有
1, 2,
⋯
,
h
。
狀態
1
代表健康狀態，狀態
2,
⋯
,
h
–1
代表亞健康狀態，狀態
h
代表死亡。
M
x
(
t
)
具無
記憶特性，以數學式表達如下：
(1)
其中
s, t
≥ 0
，
i, j
= 1, 2,
⋯
,
h
。由此特性，我們可以定義
(2)
上式條件機率為馬可夫鍊過程在時間
t
經時間
s
後由 態
i
轉移至 態
j
的轉移機率。
而狀態轉移機率矩陣
(Transition Probability Matrix)
定義如下：
(3)
所以
P
x
(
t
, t+s)
為
x
歲被保險人在時間
t
至時間
s
的狀態轉移機率矩陣，通常狀態
轉移機率矩陣可以使用速率矩陣
(Rate Matrix)
Q
x
(
t
)
來計算。其中速率矩陣中的
i
,
j
元
素
(Entry)
定義如下：
(4.1)
(4.2)
其中 可被證明滿足以下條件， 對所有的
i
≠
j
且
(Ross, 2009)
。
速率矩陣與狀態轉移機率矩陣的關係，可以由以下兩個著名的方程式
(Kolmogorov
Forward and Backward Equations)
描述，詳細內容可以參考
Ross (2009) 381
至
391
頁。