Page 19 - 臺大管理論叢第32卷第1期

��
2( − 1)

��
( )( −1) 2
=� 2 ，
�
�
�
w 代表回復率，即違約後能回收本金之比率。

而 5 年期公司債理論價格公式便會如下所示：
= � � �� � �ℎ , � �( ) (ℎ , )

5
5
����,�
t
j
5
j
���
�� � � �ℎ , � − �ℎ , � ]， (3)
�
∑
j-1
j
�
�
���
j
其中，c 代表債息發放率(coupon rate)，
此外，可透過以下公式將公司債殖利率資料則轉換成公司債價格：
) ， (4)
� ����,�
= − (
���
為公司債價格。
其中， 為公司債殖利率，
Bond,t
設定好 CDS premium 與公司債理論價格後，便可透過蒐集到的 CDS
premium 與公司債價格實際資料，運用卡爾曼濾波進行理論模型的參數估計，
其過程乃先設定觀察值與理論價格的關係，如下所示：
=ℎ( ; ) ， (5)
�
�
Bond,t
,
其中， = ( CDS,t ( ) = � � ) 分別代表t時的 CDS premium 與公司債實際
�
價格；ℎ( ; )代表公司債之理論價格，取決於隱含違約率向量 = (ℎ ) 與
�
�
�
模型參數 = ( , , ) ；衡量誤差 (Measurement Error) 服從 i.i.d.
NTU Management Review Vol. 32 No. 1 Apr. 2022
�
(Independent and Identically Distributed) 的常態分配且平均數為 0，變異數矩
陣為 。動態的違約率向量 包括系統性與非系統性成分，並假設為自我迴
�
歸模型，其公式如下所示。
量 x 包括系統性與非系統性成分，並假設為自我迴歸模型，其公式如下所示。
t
(6)
= t-1 � ， (6)
t-1 �

�
其中，ε 為 t 時且符合 i.i.d. 的標準常態隨機向量，G 為 t 時的共變異數矩陣，透過
其中， 為t時且符合 i.i.d.的標準常態隨機向量， 為t時的共變異數矩
t-1
t
t-1
�
陣，透過公式(5)和(6)便可組成非線性狀態空間模型；Kamga and Wilde (2013)
公式 (5) 和 (6) 便可組成非線性狀態空間模型；Kamga and Wilde (2017) 便曾使用類
似的狀態空間模型來檢驗 CDS premium 的違約風險與流動性風險。
便曾使用類似的狀態空間模型來檢驗 CDS premium 的違約風險與流動性風
上述建構出來的非線性狀態空間模型便適合透過無損卡爾曼濾波進行估算。所
險。
謂的無損卡爾曼濾波是由狀態維度的條件平均數與共變異數 x 及測量值 y 的預測與
上述建構出來的非線性狀態空間模型便適合透過無損卡爾曼濾波進行
t
t
重新估計所組成，預測產生的 Sigma 點 (Sigma points) 可用來作為 x 與 y 的預測。
t為t時在觀察
估算。所謂的無損卡爾曼濾波是由狀態維度的條件平均數與共變異數 及測
用來作為 與 的預測。 為事後重新估計的狀態維度，
xx,t|t 為t時在觀察
用來作為 � � 與 的預測。 為事後重新估計的狀態維度， xx,t|t t �
t|t
�
�
t|t
x 為事後重新估計的狀態維度，Σ xx,t/t 為 t 時在觀察衡量值 y 之下的共變異數矩陣，
t/t 衡量值 之下的共變異數矩陣， 為 中的狀態變數且本研究設為 2， 為控
t
量值 的預測與重新估計所組成，預測產生的 Sigma 點 (Sigma points) 可
衡量值 � 之下的共變異數矩陣， 為 中的狀態變數且本研究設為 2， 為控
�
�
用來作為 與 的預測。 為事後重新估計的狀態維度， xx,t|t 為t時在觀察
�
�
p 為 x 中的狀態變數且本研究設為 2，δ 為控制變數。本研究產生一組 2p + 1 的
�
制變數。本研究產生一組2 的 Sigma 點：
�
t|t
制變數。本研究產生一組2 的 Sigma 點： 為t時在觀察
t
用來作為 與 的預測。 為事後重新估計的狀態維度，
為t時在觀察
衡量值 之下的共變異數矩陣， 為 中的狀態變數且本研究設為 2， 為控
xx,t|t
�
t|t
�
用來作為 與 的預測。 為事後重新估計的狀態維度，
11
Sigma 點：
xx,t|t
t|t
�
�
�
�
= 中的狀態變數且本研究設為 2， 為控

為事後重新估計的狀態維度，
衡量值 之下的共變異數矩陣， 為
制變數。本研究產生一組2 的 Sigma 點： xx,t|t 為t時在觀察
用來作為 與 的預測。
t |t

t |t 中的狀態變數且本研究設為 2， 為控
t ,0 = �
� �
t|t
�
衡量值 之下的共變異數矩陣， 為
t ,0
�
�
制變數。本研究產生一組2 的 Sigma 點：
衡量值 之下的共變異數矩陣， 為 中的狀態變數且本研究設為 2， 為控
= 的 Sigma 點：
� , = , ,2 ， (7)
(7)
�
，
制變數。本研究產生一組2 = � ��,t |t � , = , ,2 ， (7)
( )�

t ,j t |t t ,0 t |t ��,t |t j
t ,j =
± � ( )�
t |t ± �

制變數。本研究產生一組2 的 Sigma 點： j
=
t ,0
t |t
t ,0 = t |t
，
�
xx,t|t ，
其中， = ± � ( = � , = , ,2 ， (7)
= , )�
�

t |t = , =
��,t |t
其中， t ,j t |t xx,t |t = t-
xx,t |t t |t
其中， t |t = t|t t|t t ,0 ( )� xx,t|t j � , = , ,2 ， (7)
t-

± �
t ,j = t |t ± � ( )� ��,t |t j � , = , ,2 ， (7)
為由標準卡爾曼濾波在狀態維度
與
，
( ) 為 j 行的矩陣 ， t |t
t ,j
( ) � 為 j 行的矩陣 ， t |t 與 xx,t |t 為由標準卡爾曼濾波在狀態維度 �
��,t |t
� j
t |t
xx,t |t
=
其中， t |t = , xx,t |t )� xx,t|t � , = , ,2 ， (7)
�
�
(
=
t-
Sigma 點相對應的比重如下：
t|t ± �
，
xx,t+1/t 為由標準卡爾曼濾波在狀態維度 x 之下，且於 t
t+1/t 與 Σ

之下，且於t時得出的預測值。各 Sigma 點相對應的比重如下： t
��,t |t
之下，且於t時得出的預測值。各
t ,j
t |t
�
j
(A) 為 j 行的矩陣 A，x ,
其中，
=
=
j
�
xx,t|t
t|t
t-
xx,t |t
t |t
與
=
為由標準卡爾曼濾波在狀態維度
( ) 為 j 行的矩陣 ， , xx,t |t = xx,t|t ， �
其中，
t |t
t|t
t-
xx,t |t
�
t |t

時得出的預測值。各 Sigma 點相對應的比重如下： ，

�
, = 點相對應的比重如下：
( ) 為 j 行的矩陣 ， ,
� 與
之下，且於t時得出的預測值。各 Sigma 為由標準卡爾曼濾波在狀態維度 � �
�其中，
=
xx,t |t =
� 為由標準卡爾曼濾波在狀態維度
, = , ,2 ， (8)
t |t
�
t-
� t|t
, = , ,2 ， (8)
xx,t|t
t |t
xx,t |t
( ) 為 j 行的矩陣 ，
= 與
t |t
xx,t |t
�
0 =

0
� =
,
之下，且於t時得出的預測值。各 Sigma 點相對應的比重如下：

�
���
�(���)
��� 與
之下，且於t時得出的預測值。各 Sigma 點相對應的比重如下： �
( ) 為 j 行的矩陣 ，
�(���) 為由標準卡爾曼濾波在狀態維度
t |t
�
xx,t |t
, = , ,2 ， (8)
�
�
接著使用 Sigma 點預測條件平均值與共變異數，公式如下：
� Sigma 點相對應的比重如下：
接著使用 Sigma 點預測條件平均值與共變異數，公式如下： (8)
=
, =
0
之下，且於t時得出的預測值。各
, = , ,2 ， (8)
��� �
�(���) �
0
�
= � , = �(���), = , ,2 ， (8)
; ) (9)
�� �
��� ,
0
=
�� =
t ,i ; ) (9)

(
接著使用 Sigma 點預測條件平均值與共變異數，公式如下：
= ∑ �
t |t = ∑

, = , ,2 ， (8)
�
� ℎ( �
��� �(���)
���
t |t
t ,i
�
���
=
, =
0
接著使用 Sigma 點預測條件平均值與共變異數，公式如下：
接著使用 Sigma 點預測條件平均值與共變異數，公式如下：
�
�(���)
= ∑ �� 點預測條件平均值與共變異數，公式如下：
接著使用 Sigma ��� ; ) ( )� � ) (9)
�
� (10)
��
��
t |t � (10)
�

( ( = ∑
;

; �
t |t )�ℎ�
���
t ,i ; �
�

t |t
yy,t |t= ∑
t ,i ; )
� (ℎ(
t ,i
接著使用 Sigma 點預測條件平均值與共變異數，公式如下： (9)
; ) (9)
��� ��
t ,i
t ,i
t |t
t |t
�
yy,t |t
，
���
ℎ(

= ∑ ��
t |t
�
t ,i
���
t |t = ∑ ��� ℎ( t ,i ; ) (9)
� (10)
�
�
��
; �
= ∑ �� ( ( ; ) )� � t ,i ; ) (9)
�
t |t ℎ(
yy,t |t ��� �� �� t ,i = ∑ ��� � t ,i t |t � � ， (11)
� �
� (10)
(10)
t |t
，
; �

)� �
)�ℎ�
= ∑ �� = ∑ �� ( ; ) t |t )�ℎ� t ,i ; � t |t � ， (11)
t |t � (10)
; �
�
xy,t |t= ∑ (ℎ(
� (
t ,i
��� t ,i
t |t
�
xy,t |t ���
yy,t |t
t |t
t ,i t ,i
yy,t |t = ∑ ��� ��� (ℎ( � t ,i ; t |t )�ℎ� t ,i ; � t |t �
t ,i )
�
t |t
�
yy,t |t = ∑ �� �� (ℎ( t ,i ; ) t |t )�ℎ� t ,i ; � t |t � (10)
� ， (11)
對狀態維度的條
�
= ∑
���

(
t 對狀態維度的條
在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值

; �
)� �
在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值 t � (11)
xy,t |t
t |t
t |t
�
t ,i
t ,i
� ， (11)
��� ��
�
= ∑ �� ( )�ℎ� ; � � ， (11)
件平均值與共變異數進行估算，公式如下： t ,i ; � t |t
t |t
xy,t |t
t |t
t ,i
t ,i
�
= ∑
���
(

件平均值與共變異數進行估算，公式如下： )�ℎ�

�
t ,i
t |t
xy,t |t
���
� ， (11)
�
在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值 對狀態維度的條
��
t
� (12)
xy,t |t = ∑ ��� ( t ,i t |t )�ℎ� t ,i ; � t |t
對狀態維度的條
�

=

在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值
件平均值與共變異數進行估算，公式如下： t � � t t |t � (12)

t |t =
t |t
對狀態維度的條
t+1 對狀態維度的條件平均值與
t
在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值
t
t
t |t
在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值 y t |t
t |t
t
， (13)
件平均值與共變異數進行估算，公式如下： � t ， (13)
�
對狀態維度的條

=
在狀態空間的高斯線性結構之下，使用新的觀察值
�
t yy,t |t

xx,t |t =
xx,t |t
件平均值與共變異數進行估算，公式如下： t t |t � (12)
t yy,t |t t t
共變異數進行估算，公式如下： xx,t |t
xx,t |t

=

t |t
t
t |t
� (12)
件平均值與共變異數進行估算，公式如下： � t � t |t � (12)
(12)
， (13)

�� =
，
t |t
t |t
t
�� = =
� 為權重值，該濾波方案僅在狀態維度的高斯線

�

=
其中
xy,t |t 為權重值，該濾波方案僅在狀態維度的高斯線
t
t
t |t
t
xx,t |t
其中 t = xy,t |t � � t |t xx,t |t t yy,t |t t |t
�
t yy,t |t t � (12)
�
t xy,t |t xy,t |t = xx,t |t � � ， (13)

xx,t |t =
t
t |t
t |t
t

xx,t |t = t |t t yy,t |t t ， (13)

xx,t |t
��
， (13)
性結構之下有效。
(13)
�
其中 t = xy,t |t � xy,t |t � 為權重值，該濾波方案僅在狀態維度的高斯線

=
性結構之下有效。
xx,t |t
xx,t |t
t yy,t |t t
��
� 為權重值，該濾波方案僅在狀態維度的高斯線
��
其中 t = xy,t |t � xy,t |t � 為權重值，該濾波方案僅在狀態維度的高斯線
上述的過程乃是假設在參數已知的情況下，可以透過(6)式，應用卡
=
其中
上述的過程乃是假設在參數已知的情況下，可以透過(6)式，應用卡
性結構之下有效。 � xy,t |t � 為權重值，該濾波方案僅在狀態維度的高斯線
t
xy,t |t
��
其中
�
=
性結構之下有效。
11
爾門濾波來估測我們所要的狀態變數。但事實上，參數通常皆是未知，
xy,t |t
xy,t |t
t
爾門濾波來估測我們所要的狀態變數。但事實上，參數通常皆是未知，
性結構之下有效。
上述的過程乃是假設在參數已知的情況下，可以透過(6)式，應用卡
性結構之下有效。
為常態分
上述的過程乃是假設在參數已知的情況下，可以透過(6)式，應用卡
t 為常態分
所以仍需要藉由估計的過程而求出。通常的作法乃是假設
所以仍需要藉由估計的過程而求出。通常的作法乃是假設
上述的過程乃是假設在參數已知的情況下，可以透過(6)式，應用
爾門濾波來估測我們所要的狀態變數。但事實上，參數通常皆是未知，卡
t
配再透過最大概似估計法將模型中的參數估計出來。以下為使用無損卡
爾門濾波來估測我們所要的狀態變數。但事實上，參數通常皆是未知，
上述的過程乃是假設在參數已知的情況下，可以透過(6)式，應用卡
配再透過最大概似估計法將模型中的參數估計出來。以下為使用無損卡
爾門濾波來估測我們所要的狀態變數。但事實上，參數通常皆是未知
所以仍需要藉由估計的過程而求出。通常的作法乃是假設 t 為常態分，
爾曼濾波結合最大概似估計的步驟，流程的詳細說明則可參閱 Carr and Wu
爾曼濾波結合最大概似估計的步驟，流程的詳細說明則可參閱 Carr and Wu
為常態分
爾門濾波來估測我們所要的狀態變數。但事實上，參數通常皆是未知，
所以仍需要藉由估計的過程而求出。通常的作法乃是假設
配再透過最大概似估計法將模型中的參數估計出來。以下為使用無損卡
為常態分
t
所以仍需要藉由估計的過程而求出。通常的作法乃是假設
t
(2013)：
(2013)：
配再透過最大概似估計法將模型中的參數估計出來。以下為使用無損卡
為常態分
爾曼濾波結合最大概似估計的步驟，流程的詳細說明則可參閱 Carr and Wu
所以仍需要藉由估計的過程而求出。通常的作法乃是假設
配再透過最大概似估計法將模型中的參數估計出來。以下為使用無損卡
t
爾曼濾波結合最大概似估計的步驟，流程的詳細說明則可參閱 Carr
首先，根據方程式(7)與(8)，在給定重新估計狀態維度 與共變異數 and Wu
之下，
配再透過最大概似估計法將模型中的參數估計出來。以下為使用無損卡
xx,t|t 之下，
爾曼濾波結合最大概似估計的步驟，流程的詳細說明則可參閱 Carr
(2013)： t|t t|t 與共變異數 xx,t|t and Wu
首先，根據方程式(7)與(8)，在給定重新估計狀態維度
)′。
(2013)：
爾曼濾波結合最大概似估計的步驟，流程的詳細說明則可參閱 Carr and Wu
, ,
計算 Sigma 點(
(2013)：
計算 Sigma 點( t ,0 , , t ,2p )′。
首先，根據方程式(7)與(8)，在給定重新估計狀態維度 與共變異數 xx,t|t 之下，
t ,0
t ,2p
t|t
(2013)：
的條
之下，
其次，根據方程式(9)至(11)，使用 Sigma 點預測
xy,t |t 的條
與
)′。
、 與共變異數
首先，根據方程式(7)與(8)，在給定重新估計狀態維度
其次，根據方程式(9)至(11)，使用 Sigma 點預測 t |t 、 t|t yy,t |t 與 xy,t |t 之下，
xx,t|t
計算 Sigma 點( t ,0 , , t ,2p t |t t|t yy,t |t xx,t|t
首先，根據方程式(7)與(8)，在給定重新估計狀態維度 與共變異數
件平均數與條件共變異數。
)′。
, ,
)′。
計算 Sigma 點(
首先，根據方程式(7)與(8)，在給定重新估計狀態維度 與共變異數 之下，
件平均數與條件共變異數。 t ,2p
t ,0
t|t
xx,t|t
, ,
計算 Sigma 點(
其次，根據方程式(9)至(11)，使用 Sigma 點預測 t |t 、 yy,t |t 與 xy,t |t 的條
t ,0
t ,2p
對狀態維度進行重新估計。
的條
最後，根據方程式(12)與(13)，使用新觀察值
t 對狀態維度進行重新估計。
計算 Sigma 點(
, ,
與
、
件平均數與條件共變異數。 t ,2p )′。 t t |t 、 yy,t |t 與 xy,t |t 的條
其次，根據方程式(9)至(11)，使用 Sigma 點預測
最後，根據方程式(12)與(13)，使用新觀察值
xy,t |t
yy,t |t
t |t
t ,0
其次，根據方程式(9)至(11)，使用 Sigma 點預測
件平均數與條件共變異數。
接著對本研究總樣本資料重複上述步驟。方程式(5)與(6)提供直接的方法計算
的條
接著對本研究總樣本資料重複上述步驟。方程式(5)與(6)提供直接的方法計算
件平均數與條件共變異數。
、
其次，根據方程式(9)至(11)，使用 Sigma 點預測
與
t |t
yy,t |t
xy,t |t
最後，根據方程式(12)與(13)，使用新觀察值 t 對狀態維度進行重新估計。
件平均數與條件共變異數。
的預測誤差假設為服從
對數概似方程式 (Log-likelihood) 如下所示，其中 對狀態維度進行重新估計。
t 的預測誤差假設為服從
最後，根據方程式(12)與(13)，使用新觀察值
對數概似方程式 (Log-likelihood) 如下所示，其中
對狀態維度進行重新估計。
接著對本研究總樣本資料重複上述步驟。方程式(5)與(6)提供直接的方法計算
t
最後，根據方程式(12)與(13)，使用新觀察值
t
t
常態分配：
常態分配： 對狀態維度進行重新估計。
接著對本研究總樣本資料重複上述步驟。方程式(5)與(6)提供直接的方法計算
最後，根據方程式(12)與(13)，使用新觀察值
接著對本研究總樣本資料重複上述步驟。方程式(5)與(6)提供直接的方法計算
t
對數概似方程式 (Log-likelihood) 如下所示，其中 t 的預測誤差假設為服從
的預測誤差假設為服從
接著對本研究總樣本資料重複上述步驟。方程式(5)與(6)提供直接的方法計算
常態分配： 12 12 t 的預測誤差假設為服從
對數概似方程式 (Log-likelihood) 如下所示，其中
t
對數概似方程式 (Log-likelihood) 如下所示，其中
常態分配：
常態分配：
對數概似方程式 (Log-likelihood) 如下所示，其中 t 的預測誤差假設為服從
常態分配： 12
12
12
12